Maxwell formula cerca de los años 1870 las ecuaciones diferenciales parciales de electrodinámica. La cual representa la unificación fundamental de los campos eléctricos y magnéticos, prediciendo el fenómeno de las ondas electromagnéticas. A lo cual Nóbel y feynman llamaron el más excepcional logro de la ciencia en el siglo XIX.Ahora los científicos e ingenieros usan las computadoras para obtener soluciones de estas ecuaciones con el propósito de investigar estas ondas electromagnéticas.
Las ondas electromagnéticas lideran la radio y la televisión y la enorme industria de las telecomunicaciones. Pero también se generan en el espacio por rayos de electrones inestables en la Magnetosfera, así como en el Sol y en el universo remoto, informándonos sobre las partículas magnéticas del distante espacio. Las ondas electromagnéticas, lejos del foco Emisor, pueden considerarse ondas transversales planas formadas por un campo magnético y por un campo eléctrico, perpendicular entre sí y perpendicular a su vez a la dirección de propagación. La amplitud de la radiación determina el brillo y la relación entre la amplitud y la fase de los campos eléctrico y magnético condiciona el estado de polarización. La longitud de onda condicionará el color de la radiación. Un cambio de 50 nm o menos nos dará otro color diferente.
El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) intenta resolver las ecuaciones de Maxwell modelando directamente la propagación de las ondas electromagnéticas dentro de un volumen. Para ello se implementa una representación de las ecuaciones de Maxwell en forma de diferencias finitas en cada una de las celdas que dividen el espacio computacional. De este modo se va siguiendo, en cada paso de tiempo, la interacción de la onda electromagnética a lo largo del dominio con las corrientes superficiales, la transmisión o la dispersión.
Descrito brevemente, el paso de tiempo en el método FDTD se obtiene mediante el empleo de un esquema de diferencias finitas. Si la celda unidad es una celda cúbica, esteprocedimiento implica situar las componentes del campo eléctrico y magnético alrededor de la celda y evaluarlas en semi intervalos de tiempos alternados, esto es, primero se evalúan las componentes del campo eléctrico y en el siguiente Semi intervalo las componentes del campo magnético como se muestra en la siguiente figura.
Usando ambas informaciones de y , la solución es más consistente que usando el uno o el otro solo, ya sea ó . De esta forma, se pueden utilizar diferencias centradas tanto para los incrementos espaciales como para los temporales, sin tener que resolver ecuaciones simultáneas para obtener todas las componentes del campo en el último paso de tiempo.
Al elegir el incremento espacial y el paso de tiempo . El caso será de interés particular,donde c es la velocidad de la onda. las propiedades del resultado de la expresión de diferencias finitas es notable, ya que con este valor la aproximación numérica que se hace a la solución de la ecuación de Maxwell el error por truncamiento se anula por tal motivo se la llama como el tiempo mágico al intervalo de tiempo.
Al elegir el incremento espacial y el paso de tiempo . El caso será de interés particular,donde c es la velocidad de la onda. las propiedades del resultado de la expresión de diferencias finitas es notable, ya que con este valor la aproximación numérica que se hace a la solución de la ecuación de Maxwell el error por truncamiento se anula por tal motivo se la llama como el tiempo mágico al intervalo de tiempo.
Así pues, el cuerpo de interés se incluye dentro de este mallado compuesto por celdas unidad. En primer lugar se selecciona el tamaño de la celda y después se le asigna a cada una de ellas las propiedades dieléctricas del objeto simulado. Las condiciones de contorno en las interfaces de los distintos objetos se generan de forma natural a partir de la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell.
Así, una vez que está diseñado el programa, no es necesario modificar las rutinas básicas para incluir un modelado distinto. De hecho, tanto las inhomogeneidades como los detalles estructurales se pueden modelar con una resolución máxima de una celda unidad.
Así, una vez que está diseñado el programa, no es necesario modificar las rutinas básicas para incluir un modelado distinto. De hecho, tanto las inhomogeneidades como los detalles estructurales se pueden modelar con una resolución máxima de una celda unidad.
La formulación FDTD supone un incremento de memoria y tiempo de cálculo que crece linealmente con el número de celdas, N. En lo que respecta a su precisión, ésta ha demostrado ser superior al 2.5 % en el cálculo de intensidades de campo, en relación a resultados analíticos y experimentales. Esta técnica ha sido mejorada recientemente para obtener resultados sobre la penetración de campo y la absorción en cuerpos biológicos complejos, inhomogéneos y de formas irregulares, con una resolución espacial en el rango de los milímetros. Durante los últimos años, el método FDTD ha sido el procedimiento numérico más extensamente utilizado en biolectromagnetismo.
Si tenemos en cuenta la extensa experiencia acumulada sobre sus aplicaciones y la eficacia que ha demostrado en la simulación de la interacción de ondas electromagnéticas con dieléctricos, la FDTD se muestra como la técnica más idónea en el dominio del tiempo para tratar con problemas de dosimetría electromagnética y en concreto en la determinación de SAR.(Specific Absorption Rate) - tasa de absorción específica.
Las exigencias computacionales de esta técnica hacen que su aplicación directa sea poco práctica cuando se pretende calcular el campo lejos de las fuentes o dispersores, así como cuando los dispersores son grandes en términos de longitudes de onda.
Esta característica de la FDTD, común a las técnicas numéricas basadas en una formulación diferencial, nos obliga a utilizar técnicas integrales para transformar de campo cercano a campo lejano que permitan calcular con precisión los campos lejos de las antenas o los obstáculos.
Las exigencias computacionales de esta técnica hacen que su aplicación directa sea poco práctica cuando se pretende calcular el campo lejos de las fuentes o dispersores, así como cuando los dispersores son grandes en términos de longitudes de onda.
Esta característica de la FDTD, común a las técnicas numéricas basadas en una formulación diferencial, nos obliga a utilizar técnicas integrales para transformar de campo cercano a campo lejano que permitan calcular con precisión los campos lejos de las antenas o los obstáculos.
Por otra parte, existen situaciones en las que es importante tener en cuenta las reflexiones producidas en tejados o fachadas de edificios, que pueden contribuir a aumentar el campo procedente de la iluminación directa. Dado que estos dispersores son muy grandes en términos de la longitud de onda de la radiación incidente, y la limitación de la FDTD en estos casos, resulta más conveniente utilizar técnicas de alta frecuencia en el dominio del tiempo. Hemos de puntualizar que a pesar de que éstas técnicas han sido empleadas extensamente en el dominio de la frecuencia su desarrollo en el dominio del tiempo es relativamente reciente.
REFERENCIA BIBLIOGRAFÍA
1. allen,taflove. computational electroynamics, boston-london, Artech
House, 1998
2. buchaman, james. numerical methods and analysis vol II
3. De Vries, paul. A firs course in computational physics, 1994
4. Kuo,shans. Computer applications of numerical. 1990.
5. milford,reitz.fundamentos de la teoría Electromagnética,U.S.A, 1996
6. academic press. journal of computational physics vol.157,n°2
1. allen,taflove. computational electroynamics, boston-london, Artech
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4. Kuo,shans. Computer applications of numerical. 1990.
5. milford,reitz.fundamentos de la teoría Electromagnética,U.S.A, 1996
6. academic press. journal of computational physics vol.157,n°2
Autor: Lic. Fis. Mario Omar Calla Salcedo
